| Покер. Математика. Вероятности. МОИ ПОДРОБНЫЕ РАСЧЕТЫ. ID:48959 ответ на 48948 |
Вт, 6 мая 2003 00:00 [#] |
|
|
Трудный вечер тяжелого дня, или вычисления априорной вероятности выпадения комбинации
Ace-King (AK).
Обозначим Ко=2598960, и все мы с вами знаем, что это за константа.
Определим формулу C(N,K)=N!/(K!x(N-K)!), читающуюся как «Це из Эн по Ка» и показывающую
количество возможных К-элементных комбинаций, где каждый элемент может принимать одно
из N значений, причём внутри каждой комбинации нет двух одинаковых по значению элементов,
и притом формула учитывает и комбинации, являющиеся перестановками друг друга.
ПРИМЕР: пусть у нас есть 3 человека (Анег,Гриша,Вотруба). Сколько пар из них можно составить,
считая что пары вида (Вася,Петя) и (Петя,Вася) считаются одной комбинацией, а не двумя
разными? Ответ: С(3,2)=3!/(2!x1!)=6/2=3. Проверить можно и в уме.
Введём значение К(ак0)=С(4,1)*С(4,1)*С(11,3)*4^3
Пояснение: значком ^ я буду обозначать возведение в степень.
Очевидно, К(ак0)=168960, и это – количество пятикарточных комбинаций, которые содержат в
себе пару АК, причем среди этих комбинаций есть и такие, которые с точки зрения игры следует
трактовать как комбинации более высокие по значению (например, стрит с парой АК или
комбинации вида АКQQ2).
Мне кажется, что тут все лучше меня знают, почему именно так составлена формула, но на всякий
случай предлагаю задавать наводящие вопросы, и тогда я попробую пояснить логику формулы,
по которой вычисляется К(ак0).
Количество же комбинаций, являющихся истинными комбинациями “Ace-King” можно вычислить,
если вычесть из К(ак0) те комбинации, которые должны трактоваться как более высокие по
ценности, таким образом:
К(ак)=К(ак0)-К(ак2)-К(ак22)-К(ак3)-К(акST)-K(акFL)-K(акFH)-K(ak4)-K(akSF)-K(akRF), где:
К(ак2) – количество комбинаций, содержащих в себе пару АК, но при этом и содержащих в себе
пару карт, равных по рангу;
К(ак22) - количество комбинаций, содержащих в себе пару АК, но при этом и содержащих в себе
две пары карт, равных по рангу;
К(ак3) - количество комбинаций, содержащих в себе пару АК, но при этом и содержащих в себе
три карты, равных по рангу;
К(акST) - количество комбинаций, содержащих в себе пару АК, но при этом и содержащих в себе
стрит;
К(акFL) - количество комбинаций, содержащих в себе пару АК, но при этом и содержащих в себе
флэш;
К(акFH) - количество комбинаций, содержащих в себе пару АК, но при этом и содержащих в себе
фул-хаус;
К(ак4) - количество комбинаций, содержащих в себе пару АК, но при этом и содержащих в себе
четыре карты одного ранга;
К(акSF) - количество комбинаций, содержащих в себе пару АК, но при этом и содержащих в себе
стрит-флэш;
К(акRF) - количество комбинаций, содержащих в себе пару АК, но при этом и содержащих в себе
ройал-флэш;
Наступил подходящий момент ввести аксиому №1, согласно которой: формула для расчёта К(ак0)
составлена таким образом, что учитывает комбинации, в которых как туз, так и король
встречаются РАЗ, и ТОЛЬКО РАЗ.
То есть, в каждой такой комбинации ТОЧНО есть один туз, ТОЧНО есть один король, а
оставшиеся три карты ТОЧНО не содержат ни туза, ни короля.
Тогда, пользуясь аксиомой можно сделать следующие утверждения:
К(ак22) = 0 , так как наличие двух пар требует от нас либо дублирования короля, либо
дублирования туза, что противоречит аксиоме №1;
К(ак4) = 0, так как опять требовалось бы продублировать туза или короля;
К(акFH)=0, по той же причине;
К(акSF) = 0, так как любой стрит-флэш, содержащий туза и короля, автоматически переводится в
разряд ройал-флэш, и будет учтён в соответствующем пункте;
К(акRF) = 4, так как это очевидно 
Теперь менее очевидные вещи:
1) К(акST). Это количество стритов, содержащих короля и туза. Очевидно, набор рангов в таком
стрите предопределён: это 10, J, Q, K, A и никакие другие. Каждую из этих карт мы можем набрать
любой мастью из четырех, а затем надо выкинуть варианты, когда получился ройал-флэш, тогда:
К(акST)=С(4,1)*C(4,1)*C(4,1)*C(4,1)*C(4,1)-К(акRF)=4^5-4=1020;
2) К(акFL). Это количество флэшей, содержащих короля и туза. Очевидно, флэши могут быть
любой из четырёх мастей, и в каждой количество комбинаций определяется количеством
комбинаций по три карты разного ранга из 11 возможных оставшихся (так как король и туз уже
входят в комбинацию, и для каждой масти набираются единственным способом, то из 13 рангов
остаётся 11), ну и минус варианты, когда получились ройал-флэши, тогда:
К(акFL)=C(4,1)*C(11,3)-К(акRF)=656;
3) К(ак3). Количество комбинаций «три карты одного ранга», содержащих при этом пару АК.
Очевидно, что исключив тройку тузов и тройку королей мы получаем 11 вариантов троек карт
одного ранга, при этом каждая такая тройка может быть набрана картами трёх мастей из
четырёх возможных, что даёт нам формулу:
К(ак3)=C(4,1)*C(4,1)*C(11,1)*C(4,3) = 704
4) К(ак2). По аналогии с предыдущими случаями:
К(ак2)=С(4,1)*С(4,1)*C(11,2)*C(4,2)*C(4,1). Читается как: для каждого туза из четырёх возможных,
для каждого короля из четырёх возможных, оставшиеся три карты набираются ДВУМЯ рангами
из 11 возможных, при этом пара карт может быть набрана любыми двумя мастями из четырёх
возможных, и одиночная – любой мастью.
К(ак2)=21120
Итого: К(ак)= 168960-21120-0-704-1020-656-0-0-0-4= 145456
Это – число ЧИСТЫХ комбинаций «туз-король».
Тогда априорная вероятность P(ак)=К(ак)/Ко=0,055967
Вопрос1: что не так?
Вопрос2: попадают ли подобные изыскания в тематику форума, или же они слишком
академичны?
|
|
|