| Re: Шкатулки. Голосование. ID:32272 ответ на 31585 |
Чт, 21 февраля 2008 22:08 [#] |
|
|
Фигасе. Уже полтора года прошло, а шкатулки все не дают людям жить спокойно. Сразу скажу, что писали за последний год я не читал, так что, возможно, повторюсь. Вообщем, решение задачи:
Итак, к нам приходят, приносят две шкатулки и говорят, что в одной из них денег в два раза больше, чем в другой. Суммы никакие не называют. Т.е. в одной шкатулке некий абстрактный y, а в другой – 2y. Очевидно, что матожидание случайного выбора составляет 1.5 y, где y – наименьшая из двух сумм.
Далее, ведущий сообщает нам, что (для полноты – три варианта):
1) Наименьшая из двух сумм – x$ (конкретная величина). Тогда y=x и наше матожидание равно 1.5x$, что по прежнему равно 1.5y.
2) Наибольшая из двух сумм – x$. Тогда 2y=x и наше матожидание 0.75x, что по прежнему равно 1.5y.
3) В одной из шкатулок x$, причем в какой именно – неизвестно и это равновероятно может быть как большая сумма, так и меньшая. РАВНОВЕРОЯТНО! Это условие задачи, всякие измышления о том, что это не так, конструктивными не считаются.
Оппа, говорим мы. Тогда можно сказать, что с вероятностью 50% y=x, или же, опять 50%, 2y=x. Т.е. матожидание y = 0.75x$, а наше матожидание открытия случайной шкатулки – 1.5*0.75x$=1.125x$, что по прежнему равно 1.5y. Итак, информация о том, что в одной из шкатулок лежит x$, без указания, в какой именно и является ли x большей суммой или меньшей, не изменяет наше матожидание, а только позволяет выразить его через x$.
Более подробно третий вариант можно рассмотреть так: мы имеем два равновероятных набора шкатулок: 0.5x–x, и x–2x. Матожидание случайного выбора шкатулки из первого набора – 0.75x, из второго – 1.5x. Итого, имеем те самые 1.125x.
Далее, ведущий смотрит на нас и дает вторую подсказку: x$ лежит в левой шкатулке. Хрясь! – сказала пила. Ага! – сказали мужики. Чувствуете поворот дела? У нас уже не просто две шкатулки, а левая шкатулка с x$ и правая, с неизвестной суммой. Какой? 0.5x$ или 2x$ – равновероятно. И вот тут-то мы уже можем открывать правую шкатулку с матожиданием 1.25x$. Т.е. информация, о том, в какой именно шкатулке x$, даже без информации, большая эта сумма или меньшая, помогает нам увеличить матожидание, ибо придает шкатулкам индивидуальность – мы можем уже выбирать не случайно, а вполне определенно. Фактически, эта информация убирает половину неопределенности из предыдущего абзаца – теперь мы не знаем только 0.5x$-x$ или x$-2x$, но где именно x$ знаем вполне четко. Понимающие люди уже догадались, что открыв одну шкатулку и увидев там 100$, мы оказываемся именно в той же ситуации, что и когда ведущий нам сказал величину x$ и где именно она лежит. Это и обеспечивает рост нашего матожидания по сравнению с той ситуацией, когда мы просто знаем величину x$, но не знаем, где она находится. 1.25x$ против 1.125x$.
Теперь давайте разбираться с парадоксами. Итак,
Парадокс 1. Не открывая шкатулку, предположим, что там z$. Тогда, матожидание второй шкатулки – 1.25z$. Но если мы будем рассматривать вторую шкатулку, предполагая, что там 1.25z$, то тогда можно сделать вывод, что в первой шкатулке 1.25*1.25z$. Т.е. силой мысли МО наращивается до бесконечности. Увидели ошибку? Нет? Тогда еще раз по шагам. Итак, в первой шкатулке z$. Тогда МО второй – 1.25z$. Тогда МО первой… а вот фик, а не МО первой. Все предположения относительно второй шкатулки строились исходя из аксиомы, что в первой – z$. Т.е., начав рассуждения с того, что в первой z$, мы не имеем права строить какие-либо предположения о другой сумме в этой шкатулке. Или, если иначе, то 1.25z$ во второй будет тогда и только тогда, когда в первой z$. Разобрались.
Теперь рассмотрим второй парадокс. Точнее, даже нулевой, так как именно он лежит в основе всей проблемы.
Парадокс 0. Не открывая шкатулку, предположим, что там z$. Тогда МО второй шкатулки – 1.25z$. Тогда, не открывая первую шкатулку, мы должны выбрать вторую. Т.е. из двух одинаковых шкатулок одна является более предпочтительной. Нонсенс. Мдя, тут, пожалуй, будет потруднее – придется не только калькулятором щелкать, но и головой думать. Итак, две шкатулки, в одной y, в другой 2y. Предположим, что в левой шкатулке z$. Стоп! Какой еще z? У нас только y и 2y. Понимаете, когда ведущий называет нам x$, даже не говоря, где именно x$ лежит, он тем самым создает два возможных набора шкатулок 0.5x-x и x-2x. МО случайного выбора в этом случае, напоминаю, по прежнему остается 1.5y=1.125x. До тех пор, пока мы не получаем об x$ никакой достоверной информации (от ведущего ли, или же из открытой шкатулки) мы можем оперировать только y и 2y. Корректное рассуждение должно звучать так: Предположим, что в данной шкатулке z$. Тогда, мы должны предполагать, что существуют два равновероятных диапазона 0.5z-z и z-2z и мы попали именно в середину (т.е. в z). И далее следуют рассуждения, аналогичные приведенным выше, дающие нам МО 1.125z=1.5y.
|
|
|