| Задачка без шкатулок :) ID:31853 |
Вс, 12 августа 2007 03:03 [#] [») |
|
|
Так как шкатулки всех изрядно достали, хочу предложить другую задачку. Причем сразу оговорюсь, почему все-таки в названии темы вновь звучат проклятые шкатулки 
Дело в том, что несмотря на раздоры, считаю, что обсуждение получилось интересным и полезным. Полезным хотя бы по тому, что в ней столкнулись два подхода к проблеме - классический и другой (не знаю, как его назвать, но пусть будет подход Коровина). Его подход, кстати, я не в состоянии признать математическим, но спокойно признаю имеющим право на существование в плоскости решения так называемых ОЦЕНОЧНЫХ задач, которыми баловался в свое время Ферми. Впрочем, это отдельная тема. А в моей теме некоторая эфемерная аналогия со шкатулками заключается в том, что в моем вопросе есть так же НЕИЗВЕСТНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ, ИЗБИРАЕМЫЕ ЖИВЫМИ ЛЮДЬМИ, в чем легко убедиться, ознакомившись с ней .
Итак, вот мой вопрос или задачка - как хотите. В детстве мы играли в игру на деньги. которая, кажется, даже не имела названия. Смысл заключался в том, что два игрока ставили на кон произвольное количество монет. Делали они эту втемную, то есть ни один из игроков не знал, сколько ставит на кон его оппонент монет и какую они составляют сумму. ну, в реальности это выглядело так, что они отворачивались друг от друга и зажимали монеты, которые собирались поставить на кон, в кулаке. Затем, повернувшись друг к другу лицом, они разжимали кулаки. Правом первого хода, а соответственно и преимуществом обладал игрок, который выставил на кон бОльшую СУММУ в деньгах, вне зависимости от того, из какого количества монет сложена эта сумма. Далее ходом считался бросок монет с некоторой высоты на пол. Монеты, перевернувшиеся орлом, доставались тому, кто сделал ход. Монеты, лежащие после броска решкой вверх, брались вторым игроком для его хода. И так далее, пока все монеты не были разыграны.
После этого начинался новый кон.
Итак, предположим, что игроки не обладают никакими навыками разбрасывания монет, что, в общем, близко к истине, так как монеты бросались с высоты с минимумом движений - просто раскрывались ладони и монеты летели вниз, потом многократно отскакивали от твердого пола или асфальта и т.д. То есть, сколько будет перевернуто монет и какого номинала за бросок - можно считать абсолютно случайным фактором. Внимание, вопрос: сколько монет и какого номинала выставлять на кон будет оптимальным решением.
Напомню две вещи:
1. Игрок, поставивший на кон наибольшую сумму, имеет преимущество первого хода
2. Монеты в советские времена были следующих номиналов - 1 коп., 2 коп., 3 коп., 5 коп., 10 коп., 15 коп., 20 коп., 50 коп., 1 руб.
|
|
|
| Re: Задачка без шкатулок :) ID:31854 ответ на 31853 |
Вс, 12 августа 2007 05:25 («] [#] |
|
|
Писать буду не очень подробно, всё-таки утро, спать пора . Смысл в следующем:
Сначала определим, что даёт преимущество первого броска. Каждую отдельную монетку первый игрок получит с вероятностью 1/2+1/8+1/32+...=2/3, второй, соответственно, 1/3.
Следовательно, МО того, сколько денег получит первый бросающий, не зависит от номиналов монет, и равно 2/3 от общей суммы.
Так как от номиналов ничего не зависит (ну то есть не ничего, дисперсия зависит, например, но МО не зависит), стратегии игроков полностью определяются суммами.
Пусть первый игрок поставил Х коп., второй У.
МО для первого игрока равно:
2/3(Х+У)-Х = (2У-Х)/3, если Х>У,
1/3(Х+У)-Х = (У-2Х)/3, если Х<У,
0, если Х=У (этот случай неоговорён, но тут по любому ноль ).
При желании можно нарисовать таблицу с выигрышами в зависимости от стратегий (сумм) двух игроков. Нули будут при Х=У, Х=2У и 2Х=У, в четырёх секторах преимущество какого-то из игроков.
Дальше можно искать равновесные стратегии по Нэшу. Удаётся найти такую серию равновесных стратегий:
Ставить 1 копейку с вероятностью 1/2<=р<=1, 2 копейки с вероятностью 1-р. Для любого такого р эта стратегия будет равновесной.
В частном случае можно всегда ставить 1 копейку. Ставя одну копейку, игрок обеспечивает себе МО=0 в случае, если второй поставит 1 или 2 копейки, и МО>0, если тот поставит больше.
Любая другая стратегия бьётся.
Равновесное значение выигрыша, естественно, равно 0.
Вот такая фигня получается с точки зрения теории игр. Для применения как-то не очень годится, вероятность того, что побить могут, не учтена
|
|
|
