| Предсказание "рулетки" (посвящается VAGR). ID:20677 |
Пн, 11 декабря 2006 20:54 [#] |
|
|
http://physics.nad.ru
Сообщение №37554 от VAGR , 04 июля 2005 г. 23:55:
Вот задача:
Рулетка
Диск радиусом-r и переиодом вращения t
Неподвижный обод c наружним радиусом R и внутренним r(радиус диска),и пусть ширина обода R - r = 13 см.
Внутри обода вращается диск, а по ободу в обратную сторону с того же старта(с той же точки диска) запущен шарик с периодом T .
Обод наклонен к диску под углом h.
В каком секторе(месте) диска упадет шарик, если коэффициентом трения диска пренебречь, а у шарика и обода обозначить Q.?
Какова будет формула расчета, если изменяться будут только периоды вращений, остальное все константы?
Вот решение без угла наклона и трения- проверьте и дополните пожалуйста
Попробую написать решение в простейшем приближении
Пусть сначала рулетку закрутили с периодом вращения Т1, а потом в некоторый момент времени бросили шарик, причем бросили точно в, скажем, нулевой сектор рулетки, чтобы он вращался в противоположную относительно рулетки сторону, с периодом обращения T2. Здесь период обращения понимается в как случае неподвижной рулетки, то есть по сути задается начальная энергия вращения шарика.
Это значит, что угловая скорость вращения рулетки относительно стола составляет w1 = 2*pi/T1, а угловая скорость шарика относительно стола составляет w2 = 2*pi/T2. По классическому правилу сложения скоростей угловая скорость вращения шарика относительно рулетки будет равна w0 = w1 + w2. Перейдем теперь в систему, вращающуюся вместе с рулеткой. Плюнем на то, что она неинерциальная, на всякие силы Кориолиса, пусть шарик может двигаться только по окружности с радиусом R. В новой системе координат рулетка покоится, а шарик начинает бег по ней с угловой скоростью w0.
Пусть есть сила трения шарика и полотна рулетки, обозначим коэффициент трения качения шарика как k. В простейшем случае рассмотрим ситуацию, когда шарик можно считать материальной точкой, и его торможение за счет трения не влияет на вращение рулетки относительно стола. То есть, маленький шарик=)
Рассмотрим вариант, при котором коэффициент трения не зависит от скорости движения шарика. Пусть сила трения F = k*m*g, где m - масса шарика, g - ускорение свободного падения. Тогда ускорение, которое эта сила придает шарику, будет постоянно по абсолютной величине и равно k*g.
Получаем дифференциальное уравнение
x'' = - k*g, где штрихи означают производные по времени. Начальные условия - х (0) = 0, x' (0) = w0*R
Интегрируя его один раз, получаем закон изменения движения шарика -
х'(t) = w0*R - k*g*t
Интегрируя еще раз, получаем закон движения шарика -
x(t) = w0*R*t - (k*g*t^2)/2
Здесь х - это координата шарика по оси, которая свернута в окружность, по которой шарик движется.
Найдем место остановки шарика. Сначала определим, через какое время t1 шарик остановится (подчеркиваю, остановится относительно рулетки!). Это соответствует x'(t1) = 0. Отсюда t1 = (w0*R)/(k*g).
Теперь найдем, где же будет шарик в момент остановки. x(t1) = [проверьте вычисления плииз!] = (w0*R)^2/(2*k*g). Это соответствует тому, что шарик прошел такое расстояние по окружности. Длина окружности = 2*pi*R. Делением получаем, что шарик пройдет целую окружость w0^2*R/(4*pi*k*g) раз.
Для получения количественых результатов надо подставить конкретные числа, и взять от этого числа дробную часть. После чего рассчитать по рулетке, какой ее сектор находится на таком получившемся угловом расстоянии от точки, откуда бросали шарик.
Ну помогите пожалуйста , всего то: продолжить решение с учетом угла наклона и декремента затухания!
37560: Re: Кто решит задачй которой 300 лет!
dmitry 05 июля 11:58
В ответ на №37554: Кто решит задачй которой 300 лет! от VAGR , 04 июля 2005 г.:
> Вот задача:
...
> В каком секторе(месте) диска упадет шарик, если коэффициентом трения диска пренебречь, а у шарика и обода обозначить Q.?
...
> Какова будет формула расчета, если изменяться будут только периоды вращений, остальное все константы?
Цель решения? Нагреть казино?
А как периоды будете мерять? А вычислять результат?
И самый главный вопрос: на рулетках стоят отбойники,
как быть с ними? Они любую физическую модель превратят в
неустойчивую.
> Вот решение без угла наклона и трения- проверьте и дополните пожалуйста
Как в анекдоте - "модель шарообразной лошади в вакууме"
> ... Плюнем на то, что она неинерциальная, на всякие силы Кориолиса, пусть
> шарик может двигаться только по окружности с радиусом R ...
ОК. На все плюнули.
> x'' = - k*g
Получили уравнение прямолинейного равноускоренного движения под
воздействием силы трения. 
> Ну помогите пожалуйста , всего то: продолжить решение с учетом угла наклона и декремента затухания!
Я занимался этой задачкой. С учетом угла наклона (который кстати не постоянный)
и того что шар движется ПО ОКРУЖНОСТИ, диф.ур. получается чуть посложнее.
Самое забавное - то, что оно неразрешимо в элементарных функциях, следовательно
обсчитывать его нужно численными методами и ни о какой формуле речи быть не может.
Я эту задачку до конца так и не довел...
Так что, дерзайте.
------------------------------------------------------------ --------------------
37561: Re: Кто решит задачй которой 300 лет! NN
05 июля 12:09
В ответ на №37560: Re: Кто решит задачй которой 300 лет! от dmitry , 05 июля 2005 г.:
Очень понравился Ваш ответ!
Особенно это:
> > Вот решение без угла наклона и трения
> Как в анекдоте - "модель шарообразной лошади в вакууме"
> > ... Плюнем на то, что она неинерциальная, на всякие силы Кориолиса, пусть
> > шарик может двигаться только по окружности с радиусом R ...
> ОК. На все плюнули.
Долго смеялся. Спасибо.
------------------------------------------------------------ --------------------
37582: Re: Кто решит задачу которой 300 лет! VAGR 06 июля 01:10
В ответ на №37561: Re: Кто решит задачй которой 300 лет! от NN , 05 июля 2005 г.:
Я не пытался кого то рассмешить!
------------------------------------------------------------ --------------------
37587: Re: Кто решит задачу которой 300 лет! dmitry 06 июля 12:10
В ответ на №37582: Re: Кто решит задачу которой 300 лет! от VAGR , 06 июля 2005 г.:
> Я не пытался кого то рассмешить!
Согласен. Это не смешно.
У Вас как с решением дифференциальных уравнений?
Я могу покопаться, найти его и запостить.
Сам я его, как уже говорил, в элементарных функциях не решил.
Судя по всему, оно сводимо к эллиптическому.
Если есть желание заняться решением, дайте знать.
------------------------------------------------------------ --------------------
37588: Re: Кто решит задачу которой 300 лет! VAGR 06 июля 12:51
В ответ на №37587: Re: Кто решит задачу которой 300 лет! от dmitry , 06 июля 2005 г.:
> Если есть желание заняться решением, дайте знать.
Спасибо. с удовольствием.
Если не справлюсь сам , мне помогут.
------------------------------------------------------------ --------------------
37594: Диф.ур., описывающий движение шарика в боллтреке dmitry 06 июля 16:53
В ответ на №37588: Re: Кто решит задачу которой 300 лет! от VAGR , 06 июля 2005 г.:
> > Если есть желание заняться решением, дайте знать.
> Спасибо. с удовольствием.
Вот уравнение, которое описывает движение шарика.
W'(t)= mju * sqrt( (g/R)^2 + W(t)^4 );
W(t) - угловая скорость шарика
g - ускорение свободного падения
R - радиус боллтрека
mju - коэффициент трения качения
sqrt - операция извлечения квадратного корня
^ - операция возведения в степень
R - вообще говоря величина переменная - R(W),
но ее относительное изменение, на мой взгляд,
пренебрежимо мало.
Удачи в решении, не забудьте сообщить о результатах.
------------------------------------------------------------ --------------------
37605: Re: Диф.ур., описывающий движение шарика в боллтреке VAGR 06 июля 22:25
В ответ на №37594: Диф.ур., описывающий движение шарика в боллтреке от dmitry , 06 июля 2005 г.:
> Вот уравнение, которое описывает движение шарика.
> W'(t)= mju * sqrt( (g/R)^2 + W(t)^4 );
Скажите - это только для шарика?
Вот это то с учетом вращения диска!
x(t1)=(w0*R)^2/(2*k*g). Это соответствует тому, что шарик прошел такое расстояние по окружности. Длина окружности = 2*pi*R. Делением получаем, что шарик пройдет целую окружость w0^2*R/(4*pi*k*g) раз.
Для получения количественых результатов надо подставить конкретные числа, и взять от этого числа дробную часть. После чего рассчитать по рулетке, какой ее сектор находится на таком получившемся угловом расстоянии от точки, откуда бросали шарик.
Или я не понял?
------------------------------------------------------------ --------------------
44731: Re: Диф.ур., описывающий движение шарика в боллтреке Oleg 16 июля 00:59
В ответ на №37605: Re: Диф.ур., описывающий движение шарика в боллтреке от VAGR , 06 июля 2005 г.:
Цитата:
Вот уравнение, которое описывает движение шарика.
W'(t)= mju * sqrt( (g/R)^2 + W(t)^4 );
Решение такого диф. уравнения можно получить приблизительно, разложив его в ряд Тейлора. Введем обозначения: а0=((g/R)^2+W(0)^4)^0,5. Тогда первые 5 членов ряда Тейлора следующие:
W(t)=mju*(W(0)+a0*t+W(0)^3*t^2/a0+(-4W(0)^6/a0^3+6W(0)^2/a0) *t^3/6+(24W(0)^9/a0^5-36W(0)^5/a0^3+12W(0)/a0)*t^4/24), где t - время.
------------------------------------------------------------ --------------------
44740: Re: Кто решит задачй которой 300 лет! huk 17 июля 17:33
В ответ на №37554: Кто решит задачй которой 300 лет! от VAGR , 04 июля 2005 г.:
Двое уже вмонтировали в мобильники стробоскопы......
Теперь сидят в местах не столь отдаленных.....
Казино создано для выкачивания денег(типа отдых такой..., тратиш себе помаленьку денюшки на то чтоб посмотреть как диск крутится, а тот кто идет туда выиграть денюшку - безнадежен)
|
|
|