Блэкджек => На досуге - 2. ("Задача о разорении игрока") - (Текстовая версия)

Миша

На досуге - 2. ("Задача о разорении игрока") [ID=45876]

Ср, 30 октября 2002 01:00 [#]

Копаясь в книгах по терверу, наткнулся на забавную задачку “О разорении игрока”
(Б.В.Гнеденко “Очерк по истории теории вероятностей”). Удивила ее древность (до 1710 г.) и
одновременно актуальность. Возможно вам она тоже понравится.

Игроки А и В имеют а и b франков соответственно. При каждой партии некоторой игры один из
них выигрывает у другого 1 франк. Вероятность выигрыша игрока А в каждой партии равна p, для
игрока В вероятность выигрыша равна q = 1 - p. Чему равны вероятности Pa и Pb того, что игрок А
и соответственно игрок В выиграет все деньги у противника.
В 1711 году Муавр опубликовал следующие результаты :
Pa = ( ( q / p ) ^ a - 1 ) / ( ( q / p ) ^ ( a + b ) -1)
Pb = ( ( p / q ) ^ b - 1 ) / ( ( p / q ) ^ ( a + b ) -1) , где ^ - возведение в степень.
Он также нашел МО числа партий, требуемых для окончания игры, но в книге оно приведено
неверно :
( b * Pa - a * Pb) / ( p - q ) и вероятности того, что игра будет выиграна (проиграна) за n партий (не
приводится). Если кто-нибудь знает эти формулы - подскажите, пожалуйста. Сам я потратил на
задачу пару часов и быстренько охладел, узнав, что ее решением длительное время занимались
Гюйгенс, Я. и Н. Бернулли, Лаплас и другие.

К сожалению в реальной жизни Pa и Pb меняются в процессе игры (по крайней мере в БД), еще
существует ничья и повышенные выплаты. А приведение к виду Pa1 = Pa + Ps / 2 , Pb1 = Pb + Ps /
2, где Ps - вероятность ничьи, на мой взгляд, искажает результаты для малых a и b. Но тем не
менее для БД ( Pa = 0,501 Pb = 0,499 ) табличку в Excel (столбцы - банк игрока, строки -
желаемый выигрыш) составил. Она достаточно наглядна для тех, кто играет по плоской ставке.
(Кстати, учитывая “репрессии” последних месяцев, не такой редкий случай для маскировки) .
Интересен также ( с точки зрения банкротства ) случай, когда b = бесконечности.
Конечно, наука давно уступила место симуляторам и интерес к задаче носит абстрактный
характер, но приятно было бы иметь подтверждение результатов в формульном виде.

Всем - удачи.
Миша.

P.S. Как вы считаете, насколько правомочно применять эти формулы для анализа игры со
спредом, используя усредненное МО.

Zet

Re: На досуге - 2. ("Задача о разорении игрока") [ID=45879] [ответ на 45876 ()]

Ср, 30 октября 2002 01:00 [#]

Привет!
Это классическая задача тервера. Из так называемых, случайных блужданий. Формулу,
приведенную тобой, на западе называют формулой Феллера. Ее БД вариации (свои) приводят и
Гриффин и Шлезингер и вообще все кому не лень. Учитывается и правила в БД и спред, и
дисперсия, вместо вероятностей можно подставить МО, хотя суть поменяться не может. Все
равно это Феллер. Он и впервые посчитал среднюю продолжительность игры. Немножко
сложно вычисляется, на основании т. н. закона повторного логарифма (между прочим
Хинчина). При симметричном блуждании - ab. При несимметричном, N (средняя
продолжительность игры) =
a/(q-p) - (a+b) P/(q-p) , P = Pa=(1-L^a)/(1-L^(a+b)); L=q/p.
b= бесконечности… Ну, тут можно вспомнить истину, что в игре лучше быть вдвое искусным, чем
вдвое богатым. А теоретический вывод такой: Игра более искусного игрока с бесконечно
богатым соперником может продолжаться сколь угодно долго. Вообще, вся теория БД
укладывается в эту формулу и в неравенство Чебышева (усиленный закон больших чисел). Из
этого неравенства в одну строчку выводятся и ROR, и n0 и т. д.
Все, в БД больше ничего и нет. Или образно, все остальное это х-ня.
Тем более обидно, что все эти умные теории приходят с запада. Лучше всего об этом прочитать у
Феллера или Колмогорова (требует меньшей мат. подготовки). А для неискушенного в высшей
математике игрока, я бы порекомендовал Мостеллер Ф., Пятьдесят занимательных
вероятностных задач. Аннотированная как для школьников, на самом деле она много
глубже. И задача о разорении там разбирается, насколько я помню. И многие игровые темы.
P.S. Миша, я где-то читал, ты приводил цитату из Литвуда. Не менее увлекательная книга Г.
Секей, Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике. Ну и непосредственно
теорий игр касается. И эта задача очень интересно разбирается, тоже насколько помню. В
любом случае очень рекомендую.
Спасибо и всем удачи, а разорения только казино, естественно в пользу нас!

Миша

Re: На досуге - 2. ("Задача о разорении игрока") [ID=45897] [ответ на 45879 ()]

Чт, 31 октября 2002 01:00 [#]

Zet, привет.
Рад тебя слышать.

> Ее БД вариации (свои) приводят и Гриффин и Шлезингер и вообще все кому не лень.
> Учитывается и правила в БД и спред, и дисперсия, ...
Подскажи, где почитать.
Уточни, пожалуйста, какой знак между (a+b) и P в формуле для N.

> b= бесконечности… Ну, тут можно вспомнить истину, что в игре лучше быть вдвое искусным, чем
> вдвое богатым.
Для вероятностных игр это спорно, поскольку зависит от соотношения p, a и b. Можно даже
заменить p на q+МО и сравнить
Pa1 = ( ( q /( q+MO) ) ^ a - 1 ) / ( ( q /(q+MO) ) ^ ( a + b ) -1) и
Pa2 = ( ( (q-MO/2) /( q+3/2*MO) ) ^( a/2) - 1 ) / ( (( q-MO/2) /(q+3/2*MO) ) ^ (a/2 + b ) -1) - вдвое большее
МО и вдвое меньший банк.

> А теоретический вывод такой: Игра более искусного игрока с бесконечно
> богатым соперником может продолжаться сколь угодно долго.
А может и закончится, более того для любого конечного “a” существует вероятность краха, причем
очень немаленькая для небольших “а”.

Zet, спасибо за отзыв и предложенную литературу. Я учился по Венцель. А она, как-то не уделяла
внимания подобным задачам Smile

). Колмогоров вряд ли меня заинтересует (у Гнеденко много
работ в соавторстве с ним), а вот Феллера не ты один мне рекомендуешь (ПВ - мое почтение),
обязательно найду. Про Г.Секей к своему стыду даже ничего не слышал.

Не пропадай, посмотри как изменился форум.

Пока. Миша.

Zet

Re: На досуге - 2. ("Задача о разорении игрока") [ID=45899] [ответ на 45897 ()]

Чт, 31 октября 2002 01:00 [#]

Привет!
> Подскажи, где почитать…

Естественно у них, а также в интернете, на bjmath.com, например:
http://www.bjmath.com/bjmath/Betsize/winwayz/tmpweb.htm

> Уточни, пожалуйста, какой знак между (a+b) и P в формуле для N.

Умножение. У тебя для Pb (а это и есть вер. разорения для игрока A ) приведено неправильное
выражение. Pb+Pa =1, можешь исправить, Pa правильно, только в самом начале лишняя скобка
и не хватает в конце. И еще, если r, вероятность ничьи, p+q+r =1, то формула для разорения
остается той-же! Продолжительность безусловно меняется.

> вдвое богатым... Для вероятностных игр это спорно, поскольку зависит от соотношения p, a и b.

Именно эта формула показывает, что в игре лучше быть вдвое искусным, чем даже в десять! раз
богатым. Безусловно, зависит от a и p. Если вдвое искусным не подразумевает p, тогда строгий
результат: Перейдя к пределу в формуле для продолжительности, игра более искусного игрока
(p>q) с бесконечно богатым соперником с положительной вероятностью может вообще не
иметь конца. Это очень сильный результат и может оказаться как обнадеживающим, так и
весьма печальным для неудачливого счетчика (такие, к сожалению, будут, хотя бы по теории
вероятности), который очень долго может играть и быть в проигрыше. Не рассматривая
субъективные аспекты, надо отметить, что конечно предопределяющим для конечного
результата является начальный капитал (p>q само собой). А также, очень, очень важен
старт, “первый тайм” игры. Но это другая тема.
Спасибо и удачи.

Миша

Re: На досуге - 2. ("Задача о разорении игрока") [ID=45917] [ответ на 45899 ()]

Пт, 1 ноября 2002 01:00 [#]

Привет.
Спасибо за ссылку.
> .. для Pb .. неправильное выражение.
Если для Pa – правильное , то для Pb – тоже (Поменяй обозначения игроков, вероятностей и
банков и вместо Pa ты получишь Pb). Просто сразу неочевидно, что эти две формулы в сумме
дают 1.
> .. лишняя скобка и не хватает в конце
Вроде все нормально (число открытых равно числу закрытых)
> .. если r - вероятность ничьи, .. формула для разорения остается той же
По-моему понял, хотя поначалу результат кажется противоречит здравому смыслу : на 1000
раздач выигрывается одно и то же число ставок, а вероятность выигрыша Pa (проигрыша Pb)
резко отличается для различных r. Все правильно, чем больше r тем реже мы проигрываем,
сохраняя перевес в выигрышах, а для r=0.998 Pa =1, поскольку не проигрываем вообще.
(абстрактная граничная точка для МО=0.002). Поправлю свою табличку с учетом ничьи.
> лучше быть вдвое искусным, чем даже в десять раз богатым.
Еще раз нет, если под вдвое искусным понимать вдвое большее МО. Подстановка цифр для
малых «а», говорит об обратном. Попробую в выходные вывести граничные условия при которых
это становится справедливым. (Это к вопросу о начальном капитале и спреде при увеличенном
МО). Если, конечно раньше не найду формулы по твоей ссылке.

Еще раз спасибо.
Удачи.
Миша.