| На досуге - 2. ("Задача о разорении игрока") ID:45876 |
Ср, 30 октября 2002 01:00 [#] [») |
|
|
Копаясь в книгах по терверу, наткнулся на забавную задачку “О разорении игрока”
(Б.В.Гнеденко “Очерк по истории теории вероятностей”). Удивила ее древность (до 1710 г.) и
одновременно актуальность. Возможно вам она тоже понравится.
Игроки А и В имеют а и b франков соответственно. При каждой партии некоторой игры один из
них выигрывает у другого 1 франк. Вероятность выигрыша игрока А в каждой партии равна p, для
игрока В вероятность выигрыша равна q = 1 - p. Чему равны вероятности Pa и Pb того, что игрок А
и соответственно игрок В выиграет все деньги у противника.
В 1711 году Муавр опубликовал следующие результаты :
Pa = ( ( q / p ) ^ a - 1 ) / ( ( q / p ) ^ ( a + b ) -1)
Pb = ( ( p / q ) ^ b - 1 ) / ( ( p / q ) ^ ( a + b ) -1) , где ^ - возведение в степень.
Он также нашел МО числа партий, требуемых для окончания игры, но в книге оно приведено
неверно :
( b * Pa - a * Pb) / ( p - q ) и вероятности того, что игра будет выиграна (проиграна) за n партий (не
приводится). Если кто-нибудь знает эти формулы - подскажите, пожалуйста. Сам я потратил на
задачу пару часов и быстренько охладел, узнав, что ее решением длительное время занимались
Гюйгенс, Я. и Н. Бернулли, Лаплас и другие.
К сожалению в реальной жизни Pa и Pb меняются в процессе игры (по крайней мере в БД), еще
существует ничья и повышенные выплаты. А приведение к виду Pa1 = Pa + Ps / 2 , Pb1 = Pb + Ps /
2, где Ps - вероятность ничьи, на мой взгляд, искажает результаты для малых a и b. Но тем не
менее для БД ( Pa = 0,501 Pb = 0,499 ) табличку в Excel (столбцы - банк игрока, строки -
желаемый выигрыш) составил. Она достаточно наглядна для тех, кто играет по плоской ставке.
(Кстати, учитывая “репрессии” последних месяцев, не такой редкий случай для маскировки) .
Интересен также ( с точки зрения банкротства ) случай, когда b = бесконечности.
Конечно, наука давно уступила место симуляторам и интерес к задаче носит абстрактный
характер, но приятно было бы иметь подтверждение результатов в формульном виде.
Всем - удачи.
Миша.
P.S. Как вы считаете, насколько правомочно применять эти формулы для анализа игры со
спредом, используя усредненное МО.
|
|
|
